domingo, 2 de marzo de 2008

PROBABILIDAD

Probabilidad:

Objetivo: Conocerá y aplicará los fundamentos de la probabilidad.


2.1 Espacio Muestral S. Se le llama a así al conjunto de todo los sucesos posibles en un experimento.


Ejemplo 2.1 si lanzas un dado balanceado la cara superior puede ser 1,2,3,4,5 y 6 .
Luego el espacio Muestral es S ={1,2,3,4,5,6} y #S = 6


La probabilidad es la estimación de ocurrencia de un evento E. Esta definida como: P(E)= #E/#S


De modo que la probabilidad de que al tirar un dado la cara superior sea un 2 es :


P(2) = 1/6


Ejemplo 2.2 ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados, estos sumen seis.?
R: espacio muestral:
De clos cuales buscamos los que sumen seis



Es decir 5 de 36, por lo tanto

P(sumen 6 ) = 5/36

EJEMPLO 2.3 ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de 30 años de edad llegue a sobrevivir hasta los 65 años de su retiro laboral, si de cada 85, 678 personas de 30 años llegan a 65 solamente 63,549?

# E = personas que llegan a los 65 años 63,549
#S total de personas de 30 años 85, 678

P(E) = #E/#S = 63,549 / 85, 678 = 0.7417 = 74.17 %

Reflexiona : Tome dos dados (uno blanco y otro negro), láncelos 50 veces y registre los resultados como pares ordenados [(blanco, negro); por ejemplo, (3,5) representa 3 en el dado blanco y 5 en el negro ]. (es posible simular estos 50 lanzamientos usando una tabla de números aleatorios o una computadora) Luego, calcule las siguientes probabilidades observadas:
a. P´( el número del dado blanco sea impar).
b. P´(la suma sea 6)
c. P´(el resultado de ambos dados sea impar)
d. P´( el numero en el dado blanco sea mayor que el numero en el dado negro).

Ejemplo 2.3- Un experimento consta de 2 ensayos. El primero es lanzar una moneda de 1 peso y observar el resultado : águila o sol; el segundo es lanzar un dado y observar el resultado : 1,2,3,4,5 ó 6. Obtenga el espacio muestral.
R= la moneda sólo puede salir águila o sol, y el dado puede salir 1,2,3,45, o 6 , por lo que el espacio muestral que son todos los resultados posibles será: {A1,A2,A3,A4,A5,A6,S1,S2,S3,S4,S5,S6,}

Ejemplo 2.4. Se lanza una moneda y los resultados posibles son águila o sol . Si se obtiene águila, la moneda es lanzada por segunda vez. Si en el primer lanzamiento se obtiene sol , se lanza un dado.
a. obtenga el espacio muestral de este experimento
b. ¿cuál es la probabilidad de lanzar un dado en la segunda etapa de este experimento?

R= a. {AA,AS,S1,S2,S3,S4,S5,S6}
b. 1/2 =0.5 es la misma probabilidad que salga sol o águila.

2.2 Diagrama de árbol (Escriba los eventos sol, y únalos con 1, 2, 3, 4, 5,6, del segundo evento; escriba el evento águila y únalo con sol y a esta representación se le llama diagrama de árbol.
2.3 Eventos mutuamente excluyentes:
Son aquellos eventos en los que en un mismo experimento aleatorio no es posible que ocurran simultáneamente.

Ejemplo. 2.5
Se lanza un dado :
A: Salga el número 6
B. Salga un número impar
C. salga un múltiplo de 2
A n B = 0 Los sucesos son mutuamente excluyente
A n C = 6 Los eventos no son mutuamente excluyentes

2.4 Eventos complementarios
Si A U Ac = Universo. Entonces
P(A o Ac ) = 1
O bien P(Ac ) = 1 - P (A)

Ejemplo 2.6. se tienen en una urna 20 canicas rojas, 10 azules y 30 verdes. Determine la probabilidad de que al sacar una al azar esta sea
a. Roja P( R) = 20 /60 = 33.33%
b. No sea roja 1- P( R ) = 1- 20/60 = 40 /60 = 66.66 %

2.5. Ley aditiva de la probabilidad
La probabilidad de que un suceso u otro ocurra se calcula con las relaciones siguientes.

P(A o B) = P(A) + P(B) Eventos excluyentes
P(A o B ) = P(A) + P(B) - P(A y B) eventos no excluyentes

Ejemplo 2.7. Se celebró una rifa de una bicicleta, y los alumnos de Administración compraron 12 boletos, los de ingeniería compraron 18, si el total de boletos fue de 60. Determine la probabilidad de el ganador sea un alumno de;
a. Ingeniería
b. Administración
c. Ingeniería o Administración
d. Ingeniería y Administración
a. P( I ) = 18/60
b. P( A ) = 12/60+
c. Son eventos mutuamente excluyentes así:
P(A o B) = P(A) + P(B) =18/60+ 12/60 = 30/60
d) Por ser eventos mutuamente excluyentes P(A y B ) = 0

Ejemplo 2.8.. En una fiesta hay 60 invitados, de los cuales30 invitados que bailan, 20 que cantan y 5 que cantan y bailan simultáneamente. Determine cuál es la probabilidad de que al seleccionar al azar a un invitado este
a. Baile P(B) = 30/ 60
b. Cante P( C ) = 20/ 60
c. baile y cante P B y C ) = 5/60
d. baile o cante. P( B o C ) = P (B) + P( C ) - P (B y C)
= 30/60 + 20/60 - 5/60 = 45/60

2.6 Ley Multiplicativa de la probabilidad (eventos independientes)
La probabilidad de que ocurran simultáneamente dos eventos A y B , se obtiene con el producto de sus probabilidad , para sucesos independientes, es decir que la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro
.
P (A y B) = P(A) P(B)

Reflexiona Si los siguientes pares de eventos son independientes o no.
a. Lanzar un par de dados y observar un 2 en el primero y sumar un total de 10.
b. Extraer una carta de una baraja regular y obtener una roja y un as.
c. Que llueva hoy y aprobar un examen el mismo día.
d. Que llueva hoy y jugar golf ese día.
e. Terminar la tarea hoy y llegar a tiempo a las clases.

Ejemplo 2.9. ¿Cuál es la probabilidad de que al tirar un dado balanceado dos veces, salga primero un 6 y luego un 3
P(6 y 3) = P(6) P(3) = 1/6(1/6) = 1/36

2.7 PROBABILIDAD CONDICIONAL
Sean A y B dos sucesos dependientes con P(A) > 0, entonces para expresar la probabilidad de que ocurra B dado que A ya ha ocurrido se expresa P (B / A).

Análogamente la probabilidad de que ocurra A dado que ya ha ocurrido B se expresa P( A / B ) , con P( B) > 0
La probabilidad de que ocurra A dado que ya ocurrió B es un subconjunto de del espacio muestral.
P( A / B ) = P(A y B ) para eventos dependientes ,
P(B)
evidentemente
P( A / B ) = P(A) para eventos independientes, pues la ocurrencia de B no afecta al evento A
Y de aquí se tiene que P(A y B ) = P( A / B ) P(B) para eventos dependientes

Reflexiona: ¿ Si A y B son complementarios, entonces son mutuamente excluyentes?

Ejemplo 2.10 Suponga que P(A)= 0.3, P(B)= 0.4 y P(A y B)= 0.12.
a. ¿Cuál es la P(A/B)?
b. ¿Cuál es P(B/A)?
c. ¿Son independientes A y B?

Respuesta.
a= 0.3 ya que notamos que P(AyB) = P(A ) P( B) y esto ocurre para evento independientes donde P( A ‌ B ) = P(A) de igual manera
b= 0.4
c= si.

Ejemplo 2.11 Suponga que A y B son eventos y que se conocen las siguientes probabilidades.
P(A)=0.3, P (B)= 0.4 Y P(A/B)= 0.2. Encuentra P(A o B).
Respuesta
P(A o B)= P(A) + P(B) – P(A y B)
P(A y B)= P(B) * P(A/B)
P(A y B)= (0.4) * (0.2)
P(A y B)= 0.08
Por lo que :
P(A o B)= 0.3 + 0.4 – 0.08
P(A o B)= 0.62

Ejemplo 2.12 Los 2 propietarios de una empresa tomas las decisiones de manera independiente y luego las comparan. Si están de acuerdo se toma una resolución; si no están de acuerdo, entonces se requiere una consideración adicional antes de llegar a una conclusión. Si cualquiera de los dueños ha tomado la decisión correctas el 60% de las veces.¿ cual es la probabilidad de que juntos:
Respuesta
a) que tomen la decisión correcta en el primer ensayo?
b) Que tomen la decisión incorrecta en el primer ensayo?
c) Que posterguen la decisión para su estudio adicional?
a)0.6 * 0.6= 0.36
b)0.4 * 0.4= 0.16
c)P(A)P(B) + P(A) P(B)=(0.6 * 0.4) + (0.4*0.6)= 0.48

Reflexiona: Explica el procedimiento anterior.
Ejemplo 2.13. Suponga que cierto rasgo oftálmico esta asociado con el color de los ojos, se estudiaron 300 individuos elegidos aleatoriamente con los resultados siguientes.






Cual es la probabilidad de que una persona elegida aleatoriamente tenga ojos azules R= 90/300 = 0.3 Cuál es la probabilidad de que una persona elegida aleatoriamente tenga el rasgo R= 120/300 Son independientes los eventos a y b R= no son independientes


Ejemplo 2.14 Suponga que en trayecto de la casa de una persona a la casa de un amigo hay tres semáforos. Cuando la persona llega a un semáforo puede estar en rojo o en verde Enumere el espacio muestral indicando todas las secuencias posibles de las luces rojas y verdes que pueden ocurrir en un viaje a la casa de la persona a la casa de su amigo R= vvv Vvr Vrv NOTA: las v = verde y las r = rojo Vrr Rvv Rvr Rrv Rrr cual es la probabilidad de que en el siguiente recorrido a la casa de su amigo la persona debe detenerse durante una sola luz roja R= vvr, vrv, rvv 3/8Cual es la probabilidad de que la persona deba detenerse durante por lo menos una luz roja R= 7/8

Ejemplo 2.15. A mil personas examinadas respecto a una enfermedad se les proporcionaron sus análisis clínicos. Como resultado del examen la muestra de 1000 se atribuye según la estatura y condición respecto a la enfermedad.

Use esta información para estimar la probabilidad de ser de estatura mediana o pequeña y sufrir moderada o severamente la información.
Moderada Severa
{(90/1000) + (121/1000)] + [(35/1000) +( 54/1000)]
211 /1000 + 89/1000 + 300/1000 = 0.3

2.8. Procesos combinados (diagrama de árbol)
Algunos procesos realizados en línea (es decir, un paso después del otro) requieren de la utilización de varias de las reglas de probabilidad o de la teoría de conteo.

Ejemplo 2.16
Se elige un comité de 5 personas en el que debe haber 2 arquitectos de 6 que hay en la compañía y 3 ingenieros de los diez que trabajan en ella. ¿Cuál es la probabilidad de que en el comité queden Ismael y Enrique que son arquitectos y Roberto que es ingeniero?
Respuesta:
Calculamos el espacio muestral
Con nCr = n! / r! (n - r) !

Para las combinaciones de los arquitectos
6C2 = 6! / 2! (6-2) ! = 15


Para las combinaciones de los ingenieros
10C3 = = 10! = 120
3! (10-3) !
Por el principio multiplicativo de conteo tenemos:
6C2 * 10C3 = 15 (120) = 1800
2! (6-2) !
El subconjunto de los arquitectos es uno de los que se puede formar, y en el caso de los ingenieros, al ser elegido Roberto los otros dos se escogen de los 9 restantes.
9C3 = = 9! = 36
3! (9-3) !
Asi lo que se pidió será 36/1800 = 2/100

















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